Teoria Semelhança de triângulos

Toda reta paralela a uma das bases de um triângulo define um triângulo semelhante a este.

Considere o triângulo $AB C$ abaixo e a reta $A’B’$, paralela à reta suporte $AB$.

Esta situação cria retas paralelas cortadas por transversais, ou seja, ângulos congruentes. Portanto o triângulo “menor” $A’B’ C$ é semelhante ao “maior” $AB C$.

A mesma situação é vista ao prolongarmos os dois lados até atingir uma reta paralela à uma das bases.

Na figura acima, o triângulo $CA B$ é semelhante ao $CA_1 B_1$, $CA_2 B_2$ e assim por diante.

No triângulo $R ST$ a reta definida pelos pontos $M$ e $N$ é paralela à reta suporte da base $RS$. Além disso, $M$ e $N$ são os pontos médios dos lados $RT$ e $ST$ respectivamente.

Reconhecendo que $MN T \sim RS T$ Iremos calcular o comprimento do segmento $MN$.

Como $M$ é ponto médio, há a seguinte relação:

$$\dfrac{MT}{RT} = \dfrac{1}{2} = k$$

E esta constante é a mesma para os lados $MN$ e $RS$:

\begin{align}
\dfrac{MN}{RS} &= \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{MN}{15} &= \dfrac{1}{2} \\
2 MN &= 15 \\
MN &= \dfrac{15}{2} \\
MN &= 7,5
\end{align}

Considerando a figura abaixo, iremos calcular a altura $h$ do triângulo maior.

Como o segmento de comprimento $h$ é paralelo ao de comprimento $5m$, os triângulos são semelhantes. Note que devemos considerar o lado de medida $8 + 4 = 12m$.

\begin{align}
\dfrac{8}{5} &= \dfrac{12}{h} \\
8h &= 60 \\
h &= \dfrac{60}{8} \\
h &= 7,5 m
\end{align}