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De uma caixa contendo $50$ bolas numeradas de $1$ a $50$ retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por $4$ e o número da segunda bola ser divisível por $5$ é

a) $\dfrac{12}{245}$

b) $\dfrac{14}{245}$

c) $\dfrac{59}{2450}$

d) $\dfrac{59}{1225}$

e) $\dfrac{11}{545}$

","body":"De uma caixa contendo $50$ bolas numeradas de $1$ a $50$ retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por $4$ e o número da segunda bola ser divisível por $5$ é *a)* $\dfrac{12}{245}$ *b)* $\dfrac{14}{245}$ *c)* $\dfrac{59}{2450}$ *d)* $\dfrac{59}{1225}$ *e)* $\dfrac{11}{545}$ ","answer_html":"

Primeiro, temos que descobrir, dentre as $50$ bolas, quantas possuem números divisíveis por $4$ e por $5$.

Vamos contar as bolas divisíveis por $4$:

bola	4	8	12	16	20	…	36	40	44	48
contagem	1	2	3	4	5	…	9	10	11	12

Há 12 bolas divisíveis por $4$. Agora vamos fazer o mesmo para o $5$:

bola	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
contagem	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Então há 10 bolas divisíveis por $5$.

Repare que as bolas 20 e 40 são, simultaneamente, divisíveis por $4$ e por $5$.

Na hora de calcular a probabilidade da segunda retirada, precisamos saber quantas bolas divisíveis por $5$ ainda restam na urna. E isto depende do que aconteceu na primeira retirada.

Então vamos ter que calcular a probabilidade pedida pelo exercício separando-a dois em casos.

1º Caso: A primeira bola é divisível por $4$, mas – não – é divisível por 5. A segunda bola é divisível por 5.

A chance de retirar uma bola divisível por $4$ e não divisível por $5$ na primeira jogada é (todas as 12 divisíveis por $4$, exceto as de números $20$ e $40$):

$$\frac{10}{50}.$$

Na segunda retirada, como sabemos que ainda há todas as bolas divisíveis por $5$ na urna, a probabilidade fica:

$$\frac{10}{49}.$$

E assim, a probabilidade destas duas retiradas (1º caso) é:

$$\frac{10}{50} \cdot \frac{10}{49} = \frac{100}{2450} $$

2º Caso: A primeira bola é divisível por $4$ e por $5$. A segunda bola é divisível por $5$.

Como a primeira bola é divisível por $4$ e por $5$, ela só pode ter sido a bola $20$ ou a bola $40$, e por isso a probabilidade da primeira retirada fica:

$$\frac{2}{50}$$

Para a segunda retirada, como já foi retirada uma bola divisível por $5$, restam apenas $9$ bolas de interesse.

$$\frac{9}{49}$$

E assim, a probabilidade destas duas retiradas (2º caso) é:

$$\frac{2}{50} \cdot \frac{9}{49} = \frac{18}{2450} $$

Agora, a probabilidade de interesse ($P$) é justamente a união destes dois casos. E por isso:

$$ P = \frac{100}{2450} + \frac{18}{2450} = \frac{118}{2450} = \frac{59}{1225} $$

Alternativa D.

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