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O número de soluções da equação $\dfrac{1}{2} \cdot |x| \cdot |x-3| = 2 \cdot \left | x- \dfrac{3}{2} \right | $ no conjunto $\mathbb{R}$, é.

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

","body":"O número de soluções da equação $\dfrac{1}{2} \cdot |x| \cdot |x-3| = 2 \cdot \left | x- \dfrac{3}{2} \right | $ no conjunto $\mathbb{R}$, é. *a)* 1 *b)* 2 *c)* 3 *d)* 4 *e)* 5","answer_html":"

Há 3 módulos na equação. Nós poderíamos desenvolver a expressão e eliminar os módulos separando-a em intervalos diferentes.

Mas, ao invés disso, vamos manipular a expressão para trabalhar com um único módulo. Isto vai nos economizar bastante tempo.

\begin{align}
\frac{1}{2} \cdot |x| \cdot | x -3 | &= 2 \cdot \left| x \ – \frac{3}{2} \right| \\ \\
\frac{1}{2} \cdot |x \cdot ( x -3 ) | &= 2 \cdot \left| x \ – \frac{3}{2} \right| \\ \\
|x^2 – 3x | &= 4 \cdot \left| x \ – \frac{3}{2} \right| \\ \\
|x^2 – 3x | &= 4 \cdot \left| \frac{2x – 3}{2} \right| \\ \\
|x^2 – 3x | &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left| 2x – 3 \right| \\ \\
\frac{| x^2 – 3x | }{| 2x – 3 |} &= 2 \\ \\
\left | \frac{x^2 – 3x}{2x – 3} \right | &= 2
\end{align}

Assim, reduzimos o número de módulos a um. Ainda, repare que

$$2x – 3 \neq 0,$$ pois esta expressão é o denominador das frações acima.

Logo, é necessário que $x \neq \frac{3}{2}$. Se $x = \frac{3}{2}$ estivesse entre as soluções, deveríamos testá-la na equação original. Mas isto não vai acontecer. :)

Continuando, vamos resolver a equação modular.

[mm] \text{(i)} \ \frac{x^2 – 3x }{2x – 3} = 2 \quad \text{ou} \quad \text{(ii)} \ \frac{x^2 – 3x}{2x – 3} = -2[/mm]

i) \begin{align}
x^2 – 3x &= 2 \cdot (2x – 3) \\
x^2 – 3x &= 4x – 6 \\ \\
x^2 -7x &+ 6 = 0
\end{align}

Resolvendo a equação do 2ºgrau por Bhaskara ou Soma e Produto, você descobre as raízes: $1$ e $6$. Elas já fazem parte na nossa solução. Agora vamos a segunda etapa da equação modular.

ii) \begin{align}
x^2 – 3x &= \ – 2 \cdot (2x – 3) \\
x^2 – 3x &= \ – 4x + 6 \\ \\
x^2 + x & \ – 6 = 0
\end{align}

Após resolver a equação do 2º grau, você vai encontrar as raízes $-3$ e $2$.

Então, o conjunto solução da equação modular é $ S = \left\{ -3, 1, 2, 6 \right\} $, que possui quatro elementos.

Alternativa D.

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