Teoria Função logarítmica

Em uma desigualdade entre logaritmos como esta:

$$\log_a m < \log_a n, $$

com $m > 0$ e $n >0$ há duas conclusões possíveis:

• se $a > 1 \rightarrow m < n$
• se $0 < a < 1 \rightarrow m > n$

isto é, desconsideramos os logaritmos e mantemos OU invertemos a desigualdade, dependendo do valor de $a$.

Esta mesma conclusão se aplica para os outros sinais de desigualdade $(>, \geq, \leq)$.

Obs.: as expressões $m > 0$ e $n > 0$ são as chamadas condições de existência. A solução da inequação deve estar contida no intervalo determinado por estas condições.

Resolva a seguinte inequação para $x \in \mathbb{R}$:

$$\log_3(x+3) > \log_3 (2x)$$

Antes de começarmos a resolver a inequação é necessário saber quais são as condições de existência; o que estiver dentro dos logaritmos deve ser maior que $\mathbf 0$.

$$x + 3 > 0 \\
x >- 3$$

$$2x > 0 \\
x > 0$$

Fazendo uma interseção destes intervalos, vemos que $x > 0$.

Agora sim podemos mexer com a inequação de fato:

$$\log_3(x+3) < \log_3(2x)$$

Como a base é maior que $1$, vamos desconsiderar o log e manter a desigualdade:

\begin{align}
x + 3 &< 2x \\
x- 2x &< – 3 \\
- x &<- 3
\end{align}

Neste ponto, para isolar o $x$ devemos multiplicar os dois lados por $-1$; mas lembre-se que em uma inequação de 1º grau, fazer isso implica em inverter a desigualdade:

\begin{array}{c c c}
(- 1) \cdot & \quad – x <- 3 &\quad \cdot (-1) \\
& x > 3 &
\end{array}

Agora, como este intervalo está dentro da condição de existência, a solução será:

$$S = \{x \in \mathbb{R} | x > 3 \}$$

Iremos resolver a seguinte inequação:

$$\log_{9} (3-x) \leq \log_9 4 $$

Antes de mais nada, é preciso ver as condições de existência:

\begin{align}
3- x &> 0 \\
- x &>- 3 \\
x &< 3
\end{align}

Portanto, a solução deve estar contida neste intervalo.

Para resolver a inequação propriamente dita, vamos “cortar” o log e manter a desigualdade, pois a base é maior que $1$:

\begin{align}
\log_{9} \hspace{-1.5em} / \hspace{1em} (3-x) &\leq \log_9 \hspace{-1.5em} / \hspace{1em}4 \\
3- x &\leq 4 \\
- x &\leq 4- 3 \\
- x &\leq 1 \\
x &\geq- 1
\end{align}

Agora precisamos fazer a interseção da condição de existência com esta desigualdade.

Portanto, a solução será:

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | – 1 \leq x < 3\} \text{ ou}\\
S = [- 1, 3[$$

Iremos resolver a seguinte inequação:

$$\log_{0,6} (3x +1) < \log_{0,6} 7$$

Primeiro devemos determinar a condição de existência:

\begin{align}
3x + 1 &> 0 \\
3x &>- 1 \\
x &>- \dfrac{1}{3}
\end{align}

A solução deve estar contida neste intervalo. Agora vamos para a inequação.

Podemos “cortar” os logaritmos, mas como a base é menor do que $1$, então iremos inverter a desigualdade:

\begin{align}
\log_{0,6} \hspace{-1.5em} / \hspace{1 em} (3x +1) &< \log_{0,6} \hspace{-1.5em} / \hspace{1 em} 7 \\
3x + 1 &> 7 \\
3x &> 6 \\
x &> \dfrac{6}{3} \\
x &> 2
\end{align}

Como este intervalo está dentro da condição de existência, ele já é a solução da inequação:

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | x > 2\} \text{ ou} \\
S = ]2, + \infty[$$

As vezes a inequação aparece com o logaritmo apenas de um dos lados, como no caso abaixo:

$$\log_{2}(2x- 8) \geq 1$$

Primeiro, vamos determinar as condições de existência, como sempre:

\begin{align}
2x- 8 &> 0 \\
2x &> 8 \\
x &> \dfrac{8}{2} \\
x &> 4
\end{align}

Agora vamos retornar à resolução da inequação.

Quando isso acontece, devemos transformar o $1$ em um logaritmo com a base $2$ (pois é a base utilizada). Agora o raciocínio é o seguinte: o log de que número na base $2$ resulta em $1$?

$$\log_2 ? = 1 $$

Este é um logaritmo bem básico, e a resposta é $2$. Portanto iremos substituir da seguinte maneira e continuar a inequação:

\begin{align}
\log_{2}(2x- 8) &\geq 1 \\
\log_{2} \hspace{-1.5em}/ \hspace{1em} (2x- 8) &\geq \log_2 \hspace{-1.5em}/ \hspace{1em}2 \\
2x- 8 &\geq 2 \\
2x & \geq 10 \\
x &\geq \dfrac{10}{2} \\
x & \geq 5
\end{align}

Este intervalo está dentro da condição de existência, portanto:

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | x \geq 5\} \text{ ou}\\
S = [5, + \infty[
$$

Seja a inequação $\log_{ \frac{1}{3} }\left( x – 1 \right) > – 2$, vamos determinar $x$.

Nesta inequação do tipo:

\begin{align}
\log_{a}\left(f(x) \right ) > r
\end{align}

Primeiro, aplicando a Condição de Existência vamos garantir que $f(x)$ seja positiva, ou seja,

\begin{align}
x – 1 > 0 \\
x > 1
\end{align}

Agora, vamos substituir $r$ por $ \log_{a}\left( a^r \right) $ e, deste modo, obter uma inequação do tipo:

\begin{align}
\log_{a}\left( f(x) \right) > \log_{a}\left( g(x) \right)
\end{align}

Cuja solução é dada por:

\begin{align}
0 < f(x) < g(x)
\end{align}

Vamos lá !

\begin{align}
– 2 &= \log_{ \frac{1}{3} }\left( \frac{1}{3} \right) ^{ – 2}
\end{align}

Assim, a inequação dada pode ser substituída por:

\begin{align}
\log_{ \frac{1}{3} }\left( x – 1 \right) > \log_{ \frac{1}{3} }\left( \frac{1}{3} \right) ^{ – 2}
\end{align}

E como os logaritmos possuem a mesma base, que está entre $0$ e $1$, podemos escrever:

\begin{align}
0 < x – 1 < (\frac{1}{3})^{ – 2} \\ \\
0 < x – 1 < 9 \\ \\
1 < x < 10
\end{align}

Como este resultado cumpre as exigências da Condição de existência:

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | 1 < x < 10\} $$

Quando os logaritmos envolvem expressões do 2º grau, a condição de existência e a própria inequação não ficam tão simples; é preciso um estudo de sinal dessas expressões.

Veja o exemplo abaixo:

$$\log(x^2- 4) \leq\log(3x)$$

Vamos começar pelas condições de existência:

I) $$x^2- 4 > 0$$

Para resolver esta inequação vamos descobrir as raízes (transformar em equação) e fazer o estudo do sinal:

$$x^2- 4 = 0 \\
x^2 = 4 \\
x = \pm \sqrt 4 \\
x = \pm 2$$

Como a concavidade é para cima, temos $x<- 2$ ou $x > 2$.

Agora vemos a segunda condição:

II) $$3x >0 \\
x > \dfrac{0}{3} \\
x > 0$$

Agora fazemos uma interseção entre as condições. Portanto só valem soluções maiores que $2$. Vamos voltar à inequação.

Na inequação já está tudo certo para cortar os logaritmos e resolver; como a base é $10$, não iremos inverter a desigualdade

$$\log(x^2- 4) \leq \log(3x) \\
x^2- 4 \leq 3x \\
x^2- 3x- 4 \leq 0$$

Novamente temos uma inequação do 2º grau; vamos calcular suas raízes e fazer o estudo do sinal:

$$x^2- 3x- 4 = 0$$

\begin{align}
\Delta &= (- 3)^2- 4 \cdot 1 \cdot (- 4) \\
\Delta &= 9 + 16 \\
\Delta &= 25
\end{align}

$$x = \dfrac{- (- 3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \\
x = \dfrac{3 \pm 5}{2} \\
x_1 = \dfrac{8}{2} = 4 \\
x_2 = \dfrac{- 2}{2} =- 1$$

Como a concavidade da parábola é para cima, o $x$ deve ficar entre $-1$ e $4$.

Agora faremos uma interseção entre este intervalo e a condição de existência:

Portanto,

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | 2 < x \leq 4\} \text{ ou}\\
S = ]2, 4]
$$