Teoria Função

A seguir veja regras e conjuntos que exemplificam o conceito de funções. Observe que nem todos os conjuntos são conjuntos numéricos e que as leis de função não precisam necessariamente envolver uma regra algébrica.

$A = \{ \text{Conjunto dos nomes de todas as pessoas}\}$
$B = \mathbb{N}$

\begin{align}
f: & A \rightarrow B \\
& a \mapsto \text{idade da pessoa}
\end{align}

Observe que $f$ é uma função pois:

• Todas as pessoas possuem uma idade, mesmo que sejam $0$ anos completos.
• Esta idade é única; Se você possui $15$ anos de idade, por exemplo, você não pode possuir também $20$ anos de idade.

$$f(\text{Senor Abravanel}) = 84 \\ f(\text{Alexandre}) = 25$$

$A = \{ 1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{ -1, -2, -3\}$

$r = \{ (1, -2), (2, -3), (3,-1) (4, -2), (5, -3) \}$

Esta é uma maneira de representar funções através da notação de conjuntos. Não é preciso haver uma lei ou regra a ser seguida pelos elementos de $A$, podemos dizer quais elementos relacionam-se entre si de maneira arbitrária.

Observe que $r$ é uma função pois:

• Todo elemento do domínio está relacionado a um, e somente um, elemento do contradomínio;

\begin{align}
g: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
& x \mapsto y = 2x – 7
\end{align}

A lei de formação de $g$ relaciona um número com a diferença entre seu dobro e $7$.

A relação $g$ é uma função, pois:

• Pode ser aplicada a qualquer elemento do domínio (número real).
• Cada elemento do domínio está relacionado com um único elemento do contradomínio.

$$
g(3) = 2 . 3 – 7 = 6 -7 = 1 \\
g(-1) = 2.(-1) – 7 = -2 -7 = -9 \\
g( \pi) = 2. \pi – 7 = 2 \pi – 7
$$

Podemos observar, por exemplo, que cada um destes valores do domínio tem apenas um resultado.

\begin{align}
h: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
& x \mapsto y = x^2 – 7x + 3
\end{align}

A relação $h$ é uma função pois:

• Pode ser aplicada a qualquer elemento do domínio (número real).
• Cada elemento do domínio está relacionado com um único elemento do contradomínio.

$$
h(-1) = (-1)^2 -7 . (-1) + 3 = 1 + 7 -3 = 5 \\
h(2) = (2)^2 -7 . (2) + 3 = 4 -14 + 3 = -7 \\
h(\sqrt2) = (\sqrt2)^2 – 7 . \sqrt 2 + 3 = 2 -7 \sqrt 2 + 3 = 5 -7 \sqrt 2$$