Teoria Média

A média mais comum e utilizada no dia-a-dia é a média aritimética. Ela consiste na razão entre a soma de todos os elementos do conjunto e a quantidade de elementos deste conjunto.

$$A = \{x_1, x_2, x_3, …, x_n \} \\
\quad \\
\overline{x} = \frac{x_1+x_2+x_3+…+x_n}{n} = \frac{\sum \limits_{i=1}^n x_i}{n}$$

• Se a cada $x_{i} \ (i=1,2,…,n)$ adicionarmos uma constante real $c$, a Média aritmética fica adicionada de $c$ unidades.

• Se multiplicarmos cada $x_{i} \ (i=1,2,…n)$ por uma constante real $c$, a Média aritmética fica multiplicada por $c$.

Exemplo $1$

A nota de Carlinhos em matemática é calculada como média aritimética entre a nota da prova mensal e a nota da prova bimestral. Se ele tirou $7,5$ na mensal e $8,5$ na bimestral, qual será sua média?

$$\overline{x} = \frac{7,5+8,5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

A média de Carlinhos em matemática será $8$.

Exemplo $2$

Um aluno, preparando-se para o exame vestibular, fez $12$ simulados no cursinho ao longo do ano. Em cada simulado, o número de questões era oitenta. Os valores seguintes correspondem às pontuações obtidas nesses exames:

$$ 56 – 52 – 61 – 53 – 48 – 68 – 49 – 59 – 61 – 62 – 60 – 55$$

Determine a Média aritmética desses valores.

\begin{align}
\overline{x} &= \frac {56 + 52 + … + 60 + 55}{12} \\ \\
\overline{x} &= \frac{684}{12} \\ \\
\overline{x} &=57
\end{align}

Logo, a Média aritmética é $57$.

Exemplo $3$

Sejam $A = \{x,6,3,4,5\}$ e $B = \{9,1,4,8,x,6,11,3\}$.

Determine $x$ para que as Médias aritméticas dos dois conjuntos sejam iguais.

Repare que as Médias aritméticas de $A$ e $B$ serão iguais se:

\begin{align}
\frac{x + 6 + 3 + 4 + 5}{5} &= \frac{9 + 1 + 4 + 8 + x + 6 + 11 + 3}{8}
\end{align}

Para determinar $x$, vamos multiplicar as equações em cruz:

\begin{align}
8(x + 6 + 3 + 4 + 5) &=5(9 + 1 + 4 + 8 + x + 6 + 11 + 3) \\ \\
8x + 48 + 24 + 32 + 40 &= 45 + 5 + 20 + 40 + 5x + 30 + 55 + 15 \\ \\
8x + 144 &= 5x + 210 \\ \\
8x – 5x &= 210 – 144 \\ \\
3x &= 66 \\ \\
x &= \frac{66}{3} \\ \\
x &=22
\end{align}

Exemplo $4$

Os dados seguintes referem-se às quantidades mensais de CDs do cantor $X$ vendidos durante um ano.

$$ 3000 – 4000 – 3500 – 5200 – 6700 – 5000$$
$$ 8500 – 7600 – 6500 – 6400 – 7000 – 5400$$

Em quantos meses as vendas mensais superaram a média de CDs vendidos?

Primeiro, vamos calcular a Média aritmética das quantidades mensais vendidas:

\begin{align}
\overline{x} &= \frac{3000 + 4000 + 3500 + 5200 + 6700 + 5000 + \\8500 + 7600 + 6500 + 6400 + 7000 + 5400}{12} \\ \\
\overline{x} &= \frac{68800}{12} \\ \\
\overline{x} &= 5733
\end{align}

Ou seja, as vendas mensais superaram a Média aritmética em $6$ meses.

Determinado site recebeu $10.075$ visitas no mês de abril de 2011. Qual foi a média de visitas diárias nesse mês para este site?

Note que $10.075$ já é a soma de todas as visitas diárias; o total de dias de abril de 2011 é $31$.

$$\overline{x} = \frac{10.075}{31} = 325$$

O site teve uma média de $325$ visitas diárias.

Isso não significa que em cada dia houve $325$ acessos. Algum dia pode ter tido $500$ acessos e outro $150$, por exemplo. Desta maneira, temos que $\dfrac{500+150}{2} = 325$ e a média não se altera.