Teoria Relações trigonométricas

Podemos transformar uma soma de senos ou de cossenos em um produto de senos ou de cossenos. Estas fórmulas também são conhecidas como fórmulas de prostaférese.

Veja que
\begin{cases}
\text{sen}(\alpha + \beta) = \text{sen }\alpha\cos\beta + \text{sen }\beta\cos\alpha\;\;\; (1)\\
\text{sen}(\alpha- \beta) = \text{sen }\alpha\cos\beta- \text{sen }\beta\cos\alpha\;\;\;\;(2)
\end{cases}

Assim, somando as equações (1) e (2), temos
$$\text{sen }(\alpha+\beta) + \text{sen }(\alpha-\beta) = 2 \ \text{sen }\alpha\cos\beta $$

Podemos fazer a mesma coisa para uma soma de cossenos.

\begin{cases}
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta- \text{sen }\alpha \ \text{sen }\beta\;\;\;(3)\\
\cos(\alpha- \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \text{sen }\alpha\ \text{sen }\beta\;\;\;(4)
\end{cases}

Somando as equações $(3)$ e $(4)$, obtemos
$$\cos(\alpha +\beta) + \cos(\alpha- \beta) = 2 \cos\alpha\cos\beta $$

Também podemos misturar seno com cosseno. Subtraíndo a equação $(4)$ da equação $(3)$, obtemos

$$\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta) = 2 \ \text{sen } \alpha \cos \alpha$$