Teoria Determinante

Para continuarmos o estudo do determinante é necessário que se conheça o conceito do menor complementar, também conhecido como menor principal.

O menor complementar (ou menor principal) de um elemento $a_{ij}$ (notado como $M_{ij}$) de uma matriz $A_{n \times m}$ é um determinante $(n-1) \times (m-1)$ cujos elementos são os mesmos de $A$, exceto pelos elementos da linha $i$ e os elementos da coluna $j$.

Iremos utilizar uma matriz $A_{3 \times 3}$ para visualizar a definição. O menor complementar do elemento $a_{23}$, por exemplo, será construído excluindo os elementos da linha $2$ e da coluna $3$.

$$M_{23} = \begin{array}{|c c|}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{22}
\end{array} $$

O conceito de cofator está diretamente ligado ao menor complementar.

O cofator de um elemento $a_{ij}$ (denotado por $A_{ij}$) de uma matriz $A$ é dado pela fórmula:
$$A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$

Em outras palavras, o cofator de um elemento $a_{ij}$ de uma matriz é o próprio menor complementar $M_{ij}$ mas com uma correção de sinal:

• se $(i+j)$ for ímpar, mudamos o sinal do menor complementar;
• caso contrário, se $(i+j)$ for par, o sinal não é alterado.

Veja o mapa de mudança de sinal dos cofatores de uma matriz $3 \times 3$:

$$\left ( \begin{array}{c c c}
+ & – & + \\
- & + & – \\
+ & – & +
\end{array} \right )$$

A matriz dos cofatores de uma matriz $A$, é, como o nome sugere, a matriz formada por todos os cofatores de $A$.

$$C = \left( \begin{array}{c c c}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{array} \right)$$

Esta matriz desempenha um papel importante para se determinar a inversa de uma matriz.

Dada a matriz $B_{4 \times 4}$ abaixo
$$B = \left( \begin{array}{c c c c}
-1 & 0 & 2 & 3 \\
2 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 3 & 1 & -1 \\
1 & 0 & -1 & 5
\end{array} \right) $$

iremos calcular os cofatores:

• $B_{22}$

$$\begin{array}{|c c c|}
-1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 5
\end{array} = \begin{array}{c}
(-5 -2 + 0) – (3 -1 + 0) =\\
-7 – (2) = \\
-9 \end{array}$$

Como $2+2 =4$ é par, não é necessário alterar o sinal:
$$B_{22} = -9$$

• $B_{43}$

$$\begin{array}{|c c c|}
-1 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 4 \\
0 & 3 & -1 \\
\end{array} = \begin{array}{c}
(0 + 0 + 18 ) – (0 -12 + 0) = \\
18 – (-12) =\\
18 + 12 =\\
30
\end{array}$$

Como $4 + 3 = 7$ é ímpar, é necessário alterar o sinal:
$$B_{43} = – 30$$