Teoria Determinante

Há propriedades muito importantes envolvendo o determinante, muitas delas facilitam seu cálculo.

Primeiro as mais básicas:
$I. \det A^t = \det A$
$II. \det(AB) = \det(BA)$
$II I. \det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$
$IV. \det I_n = 1$

Se a matriz possui uma linha ou uma coluna nula, seu determinante será $0$.

Para verificar a veracidade desta afirmação, basta escolher esta linha para o Teorema de Laplace.

$$\begin{array}{| c c c c |}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \color{red}{0} \;\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \color{red}{0} \;\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \color{red}{0} \;\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & \color{red}{0} \;\\
\end{array} = 0 \cdot A_{14} + 0 \cdot A_{24} + 0 \cdot A_{34} + 0 \cdot A_{44} = 0$$

Se existem linhas proporcionais em uma matriz, isto é, uma linha é o dobro ou o triplo de outra, por exemplo, o determinante da matriz será $0$.

Observe os determinantes calculados nos primeiros tópicos deste módulo:

Neste caso, a segunda coluna é a primeira multiplicada por $-4$.

Neste caso, a segunda linha é a primeira multiplicada por $-2$.

Se multiplicarmos uma linha ou uma coluna por um número $k$, o determinante também fica multiplicado por $k$.

Exemplos

$$\begin{array}{|c c c c|}
-1 & 2 & 3 & -4 \\
-1 & 3 & 5 & 7 \\
-2 & 3 & 5 & 7 \\
1 & 4 & 9 & 16
\end{array} = 54$$

Observação

Perceba que se uma matriz $A$ de ordem $n$ for multiplicada por $k$, o seu determinante será multiplicado por $k^n$:

$$\det{(k \cdot A)} = k^n \cdot \det A$$

Trocar a posição de duas linhas (ou duas colunas) entre si apenas altera o sinal do determinante.

Exemplos

$$ \begin{array}{|c c c|}
-3 & 2 & 0 \\
1 & 3 & 4 \\
0 & 2 & 1\end{array} = 13$$

Permutando a 1ª coluna com a 3ª, o valor absoluto do determinante é o mesmo, mas fica com o sinal oposto.

O mesmo ocorre se a 2ª e a 4ª linhas do determinante abaixo forem permutadas:

$$\begin{array}{|c c c c|}
0 & -1 & 3 & 4 \\
9 & -8 & 9 & 3 \\
1 & -7 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 0 & -1
\end{array} = -61 $$

Em termos simples, o Teorema de Jacobi é entendido da seguinte maneira: o valor de um determinante não é alterado ao se multiplicar uma coluna por uma constante e somá-la a outra coluna. O mesmo vale para linhas.

Neste exemplo, repare que a coluna $1$ não é alterada! A multiplicação pelo número $k$ só é feita para somar com a coluna $3$.

Algebricamente podemos entender o teorema de Jacobi da seguinte maneira: substituímos o valor de uma coluna $j$ pela soma desta coluna com um múltiplo $k$ de uma coluna $p$:
$$C_j \leftarrow k \cdot C_p + C_j$$

E lembrando que o mesmo vale para as linhas:

$$L_i \leftarrow k \cdot L_q + L_i$$

Este teorema é bastante útil para criarmos valores nulos na matriz antes de utilizar o Teorema de Laplace.

Iremos mostrar na prática como a utilização do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo de um determinante. Observe o determinante da matriz $A$ abaixo:

$$\det A = \begin{array}{|c c c c|}
1 & 0 & -2 & 0 \\
-4 & -1 & 10 & 2 \\
2 & 2 & -5 & -1 \\
1 & 4 & 2 & 3
\end{array}$$

Iremos multiplicar a 3ª linha por $2$ e somar o resultado à 2ª linha.

$$
2 \cdot L_3 + L_2 = \\
2 \left( \begin{array}{c c c c} 2 & 2 & -5 & -1\end{array}\right) + \left (\begin{array}{c c c c} -4 & -1 & 10 & 2 \end{array}\right) = \\
\left( \begin{array}{c c c c} 4 & 4 & -10 & -2\end{array}\right) + \left (\begin{array}{c c c c} -4 & -1 & 10 & 2 \end{array}\right) = \\
\left( \begin{array}{c c c c} 0 & 3 & 0 & 0\end{array}\right)
$$

Esta linha ficará no lugar da antiga linha $2$, assim teremos uma linha com muitos zeros para ser utilizada no Teorema de Laplace:

Assim, precisaremos calcular apenas um cofator:

$$M_{22} = + \begin{array}{|c c c|}
1 & -2 & 0 \\
2 & -5 & -1 \\
1 & 2 & 3
\end{array} = \begin{array}{c}(-15 + 2 + 0) – (0 -2 -12) = \\ -13 -(-14) = \\ -13 + 14 = \\1 \end{array}$$

Como $2+2 = 4$ é par, não precisamos alterar o sinal do menor principal:
$$A_{22} = M_{22} = 1$$

Retornamos este valor ao determinante de $A$:
\begin{align}
\det A &= 3 \cdot A_{22} \\
&= 3 \cdot 1 \\
&= 3
\end{align}

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Algebricamente, se $A_{n \times n}$ é triangular:
$$\det A = \prod^{n}_{i=1}a_{ii} = a_{11} \cdot … \cdot a_{nn}$$

Exemplos

$\begin{array}{|c c c|}
4 & 0 & 0 \\
3 & -2 & 0 \\
50 & 67 & 1
\end{array}= 4\cdot (-2) \cdot 1 = -8$

$\begin{array}{|c c c c|}
-5 & 48 & 55 & -109 \\
0 & 3 & 5 & 0 \\
0 & 0 & -6 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{array} = (-5) \cdot 3 \cdot (-6) \cdot 4 = 360$