Teoria Função modular

Observe um exemplo de composição da função módulo com a função do 1º grau:

$$f(x) = |2x- 8| $$

Para explorar sua natureza, iremos fazer o estudo do sinal da função de primeiro grau. Para isso iremos determinar sua raiz.

\begin{align}
2x- 8 &= 0 \\
2x &= 8 \\
x &= \dfrac{8}{2} \\
x &= 4
\end{align}

Portanto, quando $x \geq 4$ o sinal da função é neutro ou positivo. Nesta região, não é preciso alterar o sinal da função:

$$f(x) = |2x- 8 | = 2x- 8$$

Para $x < 4$ o sinal é negativo. Nesta região, é necessário trocar o sinal da função:

$$f(x) = |2x- 8 | = – (2x- 8) = -2x + 8$$

Então podemos reescrever a $f(x)$ como:

$$f(x) = \left \{ \begin{align}
2x- 8, \text{se } x \geq 4 \\
-2x + 8, \text{se } x < 4
\end{align} \right.$$

Se quisermos determinar o gráfico de $f$, ele será gerado por duas funções de 1º grau, ou seja, duas retas. O gráfico segue uma lei até $x=4$, onde há a troca.

Olhando mais a fundo, gráfico é formado por duas retas, mas sem a parte negativa delas.