Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

$$ f(x) = x^n \ \ \Rightarrow \ \ f’(x) = nx^{n-1} $$

Para derivar qualquer função potência (funções do tipo $x^n$), temos que “tombar o expoente para frente do $x$ e tirar um do expoente”. É a famosa regra do tombo. Vamos ver um exemplo?

Exemplo: Encontre a derivada de $ f(x) = x^4 $.
Então, como devemos tombar expoente ($4$) para frente do $x$ e tirar um do expoente, fica assim:

$$f’(x) = 4x^{4-1} = 4x^3$$

Vamos fazer mais um?

Exemplo: Encontre a derivada de $ f(x) = x^{20} $.
Novamente, vamos tombar o expoente ($20$) para frente do $x$ e tirar um, fica assim:

$$f’(x) = 20x^{20 – 1} = 20x^{19}$$

Entendeu como se faz? A tabela abaixo traz mais algumas derivadas:

Nós já sabemos calcular a derivada de $x^2$ ( que é $2x$ ). Mas nunca justificamos esse resultado. Vamos calcular então?

Seja $f(x) = x^2$ definida em $ \mathbb{R} $. Segue que:

\begin{align}
f’(a) &= \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x) \ – f(a) }{ x – a} \\ \\
&= \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{ x^2 – a^2 }{ x – a} \\ \\
&= \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{(x+a)(x-a)}{ x – a} \\ \\
&= \lim\limits_{x \rightarrow a} x+a \\ \\
&= a + a \\ \\
&= 2a \\
\end{align}

A regra do “tombo” para derivadas segue do cálculo que faremos a seguir. Antes disso, precisamos saber uma fatoração válida para quaisquer números reais $x$ e $a$.

[mm] x^n – a^n = (x-a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + \dots + xa^{n-2} + a^{n-1}) [/mm]

Sabendo a fatoração, estamos prontos para calcular esta derivada. Considere a função $f(x) = x^n$ definida em $\mathbb{R} $ e $a \in \mathbb{R} $.

\begin{align}
f’(a) &= \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x) \ – f(a)}{x – a} \\ \\
&= \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{x^n – a^n}{x -a} \\ \\
&= \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{(x-a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + \dots + xa^{n-2} + a^{n-1})}{x-a} \\ \\
&= \lim\limits_{x \rightarrow a} x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + \dots + xa^{n-2} + a^{n-1} \\ \\
&= a^{n-1} + a^{n-2}a + a^{n-3}a^2 + \dots + aa^{n-2} + a^{n-1}
\end{align}

Agora temos que reparar duas coisas:

• Ao efetuar as multiplicações das potências de $a$ na expressão, obteremos $a^{n-1}$ em cada uma das parcelas.

\begin{align}
a^{n-2}a &= a^{(n-2) + 1} = a^{n-1} \\
a^{n-3}a^2 &= a^{(n-3) + 2} = a^{n-1} \\
a^{n-4}a^3 &= a^{(n-4) + 3} = a^{n-1} \\
\end{align}

• Há exatamente $n$ parcelas naquela expressão.

Assim, segue que:

\begin{align}
f’(a) &= \underbrace{a^{n-1} + a^{n-1} + a^{n-1} + \dots + a^{n-1}}_{\text{n vezes}} \\
f’(a) &= na^{n-1}
\end{align}