Teoria Cálculo Diferencial: Derivadas

[mm] [f \cdot g]’ = f’g + g’f [/mm]

A regra do produto serve para derivar multiplicações de funções. Vamos aplicá-la?

Exemplo: Derive a função $f(x) = x^2 \sin x $.
Como há o produto (multiplicação) de $x^2$ e $\sin x$, temos que usar a regra do produto.
\begin{align}
f’(x) &= (x^2 \cdot \sin x)’ \\
f’(x) &= (x^2)’ \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)’ \\
&= 2x \sin x + x^2 \cos x
\end{align}

Exemplo: Derive a função $f(x) = x^6 e^x $.
Repare que há uma multiplicação de funções. Temos que usar a regra do produto.
\begin{align}
f’(x) &= (x^6 \cdot e^x)’ \\
&= (x^6)’ \cdot e^x + x^6 \cdot (e^x)’ \\
&= 6x^5 e^x + x^6 e^x
\end{align}

A seguir vamos provar a regra do produto. Talvez você queira pular a leitura, fique a vontade. Mas não deixe de fazer o teste de verificação.

Sejam $f$ e $g$ duas funções deriváveis em $x$.

\begin{align}
\left[ f(x) \cdot g(x) \right]’ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) \cdot g(x+h) \ – f(x) \cdot g(x)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) \cdot g(x+h) \ – f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) \ – f(x) \cdot g(x)}{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) \cdot \left[ g(x+h) – g(x) \right] + [f(x+h) – f(x)] \cdot g(x) }{h} \\ \\
&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} f(x+h) \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ g(x+h) – g(x) }{h} + \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) – f(x) }{h } \cdot g(x) \\ \\
&= f(x) \cdot g’(x) + f’(x) \cdot g(x)
\end{align}

Obs. Uma vez que $f$ é derivável em $x$, $f$ também é contínua em $x$. Isso justifica o porque
$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0 } f(x+h) = f(x)$$.