Teoria Semelhança de triângulos

A constante $k$ apresentada na definição é denominada razão de semelhança. Qualquer razão entre medidas lineares (altura, perímetro etc) resulta em $k$.

Neste caso temos temos que:

$$ \frac{h_1}{h_2} = k$$

$$\frac{a+b+c}{d+e+f} = k$$

As áreas dos triângulos estão relacionadas ao quadrado da razão de semelhança:
$$\frac{A_1}{A_2} = k^2$$

Tome como exemplo os dois triângulos abaixo:

A razão de semelhança entre eles pode ser calculada através da razão entre quaisquer dois comprimentos correspondentes. Iremos escolher os lados que medem $4cm$ e $1,6 cm$ respectivamente, ambos opostos ao ângulo de $1$ volta.

$$\dfrac{4}{1,6} = 2,5 = k$$

Isto significa que qualquer razão entre uma medidas do triângulo da direita e sua correspondente do triângulo da esquerda resulta em $2,5$. Isto pode ser comprovado:

$$\dfrac{6}{2,4} = 2,5 \\
\dfrac{9}{3,6} = 2,5 \\
\dfrac{P_1}{P_2} = \dfrac{19}{7,6} = 2,5$$

A razão de semelhança entre os triângulos $MN P$ e $RS T$ abaixo é de $\dfrac{2}{3}$. Iremos determinar a medida de $RS$.

As razões da proporção devem ser feitas de $MN P$ para $RS T$. Desta maneira:

\begin{align}
\dfrac{6}{RS} &= \dfrac{2}{3} \\
2 RS &= 18 \\
RS &= \dfrac{18}{2} \\
RS &= 9cm
\end{align}

No exemplo abaixo, os triângulos são semelhantes e A razão entre a área do menor $A_2$ e a área do maior $A_1$ vale $0,64$. Iremos calcular suas dimensões.

Traduzindo matematicamente a informação do enunciado, temos que:

$$\dfrac{A_2}{A_1} = 0,64$$

Lembre-se de que a razão entre as áreas resulta no quadrado da constante de proporção. Desta maneira:

\begin{align}
\dfrac{A_2}{A_1} = k^2 &= 0,64 \\
k &= \sqrt{0,64} \\
k &= 0,8
\end{align}

Portanto, ao dividir qualquer medida do triângulo menor pela medida correspondente do triângulo maior o resultado será $0,8$. Assim, podemos calcular todos os comprimentos do triângulo menor:

\begin{align}
\dfrac{x}{9} &= 0,8 \\
x &= 9 \cdot 0,8 \\
x &= 7,2 m\\
\\
\dfrac{y}{7} &= 0,8 \\
y &= 7 \cdot 0,8 \\
y &= 5,6 m \\
\\
\dfrac{z}{5} &= 0,8 \\
z &= 5 \cdot 0,8 \\
z &= 4m
\end{align}