Teoria Semelhança de triângulos

A semelhança de triângulos nem sempre ocorre com dois triângulos separados; pode haver interseção entre os lados de um com os lados do outro e até vértices em comum. Observe o exemplo abaixo:

No triângulo $AB C$ foi escolhido um ponto $H$ pertencente ao lado $AB$ de maneira que $C\hat{A}B \equiv H \hat{C} B$; além disso, tem-se que $HB = 3 dm$ e que $AB = 12 dm$. Iremos calcular o comprimento do lado $CB$.

Primeiro, repare que os triângulos $AC B$ e $HC B$ são semelhantes, pois possuem dois ângulos de mesma medida. Para facilitar o entendimento e a relação entre os lados, iremos “desvirar” o triângulo interno.

Este processo consiste em redesenhar o triângulo, colocando os ângulos correspondentes na mesma posição. Desta maneira, mantemos o vértice $B$ e o vértice $C$ fica na posição do vértice $A$, como na figura abaixo; depois escrevemos as medidas conhecidas.

Agora é fácil relacionar as medidas e resolver o problema:

\begin{align}
\dfrac{CB}{HB} &= \dfrac{AB}{CB} \\
\dfrac{x}{3} &= \dfrac{12}{x} \\
x^2 &= 3 \cdot 12 \\
x^2 &= 36 \\
x &= \sqrt{36} \\
x &= 6 dm
\end{align}