Teoria Trigonometria no triângulo retângulo

Uma situação comum em que a trigonometria é utilizada é no cálculo de lados de um triângulo retângulo a partir de apenas um dos lados e uma medida de ângulo.

Iremos também ver o inverso: como determinar um ângulo a partir das medidas de seus lados.

Determine o valor de $x$ no triângulo abaixo:

Primeiro, identificamos $6cm$ como hipotenusa do triângulo e $x$ como cateto adjacente ao ângulo de $30^{\circ}$.

Portanto, a razão que iremos utilizar é a do cosseno, pois é ela que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa.

Assim, com o auxílio dos valores já calculados (tabela da seção anterior) montamos e resolvemos a seguinte equação:

\begin{align}
\cos 30^{\circ} &= \dfrac{x}{6} \\
\dfrac{\sqrt 3}{2} &= \dfrac{x}{6} \\
2 x &= \sqrt 3 \cdot 6 \\
2 x &= 6 \sqrt 3 \\
x &= \dfrac{6 \sqrt 3}{2} \\
x &= 3\sqrt 3
\end{align}

Determine a medida do segmento $AB$ no triângulo abaixo:

Primeiro, identificamos o lado de $3,5m$ como cateto oposto do $45^{\circ}$ e o lado $AB$ como cateto adjacente. A razão que relaciona estas medidas é a tangente.

Assim, com o auxílio dos valores já calculados (tabela da seção anterior) montamos a resolvemos a seguinte equação:

\begin{align}
\text{tg } 45^{\circ} &= \dfrac{3,5}{AB} \\
1 &= \dfrac{3,5}{AB} \\
1 \cdot AB &= 3,5 \\
AB &= 3,5m
\end{align}

Determine a medida do ângulo $A\hat{B} C$ no triângulo abaixo.

O ângulo $A\hat{B} C$ será identificado como $\beta$ para resolvermos o exercício.

Observe que é possível calcular o cosseno de $\beta$, pois há a medida do cateto adjacente a $\beta$ e da hipotenusa.

$$\cos \beta = \dfrac{5}{10}^{\div 5}_{\div 5} = \dfrac{1}{2}$$

Portanto, $\beta$ é um ângulo agudo e cujo cosseno mede $\dfrac{1}{2}$. Observando a tabela (ou decorando) da seção passada, concluímos que:

$$\beta = 60^{\circ}$$