Teoria Trigonometria no triângulo retângulo

É importante ressaltar que, apesar de “nascerem” do triângulo, as razões trigonométricas não dependem das medidas do triângulo, apenas do ângulo.

Isto é, se $\text{sen } \alpha$ possui um valor em certo triângulo, em outro triângulo $\text{sen } \alpha$ também terá o mesmo valor. O mesmo vale para as outras razões.

Considere o triângulo abaixo, semelhante ao do exemplo anterior, onde as medidas dos lados foram dobradas:

Observe como os valores de seno, cosseno e tangente de $\alpha$ permanecem os mesmos, independente do triângulo:

$$\text{sen } \alpha = \dfrac{10}{26}^{\div 2}_{\div 2} = \dfrac{5}{13}$$

$$\cos \alpha = \dfrac{24}{26}^{\div 2}_{\div 2} = \dfrac{12}{13}$$

$$\text{tg }\alpha = \dfrac{24}{26}^{\div 2}_{\div 2} = \dfrac{5}{13}$$

Quando dois triângulos são semelhantes, existe um fator $k$ de semelhança entre eles, isto é, multiplicando os lados de um triângulo por $k$ obtemos os lados do outro.

Agora, calculando as razões trigonométricas perceba que o fator $k$ acaba sendo cancelado:

$$\text{sen } \alpha = \dfrac{k \hspace{-0.5em} /b}{k\hspace{-0.5em} /a} = \dfrac{b}{a}$$

$$\cos \alpha = \dfrac{k \hspace{-0.5em} /c}{k\hspace{-0.5em} /a } = \dfrac{c}{a}$$

$$\text{tg }\alpha = \dfrac{k\hspace{-0.5em} /b}{k \hspace{-0.5em} /c} = \dfrac{b}{c}$$

Isto garante, de fato, que os valores de seno, cosseno e tangente dependem somente do ângulo!