Teoria Trigonometria no triângulo retângulo

A seguir apresentamos problemas que simulam situações encontradas na vida real e que podem ser resolvidos com trigonometria.

Geralmente, neste tipo de problema, os ângulos envolvidos nem sempre são os ângulos notáveis e os valores de seno, cosseno e tangente são dados por aproximações decimais.

Um avião decola com uma inclinação de $15^{\circ}$ em relação ao horizonte. Após percorrer $500m$ nesta direção, qual será a altura do avião em relação à pista? (Utilize $\text{sen }15^{\circ} = 0,26; \cos 15^{\circ} = 0,97; \text{tg }15^{\circ} = 3,73$).

Fazendo um esboço da situação obtemos o seguinte:

Neste caso, identificamos $500m$ como a hipotenusa e a medida $h$ como cateto oposto do $15^{\circ}$.

Agora, devemos responder à pergunta: “que razão relaciona o cateto oposto com a hipotenusa?”A resposta é: o seno. Portanto, fazemos e resolvemos a seguinte igualdade:

\begin{align}
\text{sen } 15^{\circ} &= \dfrac{h}{500} \\
0,26 &= \dfrac{h}{500} \\
0,26 \cdot 500 &= h \\
h &= 130m
\end{align}

Então, após percorrer $500m$ em uma inclinação de $15^{\circ}$, o avião estará a uma altura aproximada de $130m$ em relação à pista.

Um cabo foi colocado a uma distância de $51$ metros de uma torre de energia elétrica. Se o ângulo que o cabo faz com o chão é de $32^{\circ}$, qual é o comprimento do cabo? (Utilize: $\text{sen }32^{\circ} = 0,53, \cos 32^{\circ} = 0,85, \text{tg } 32^{\circ} = 0,62)$

Queremos determinar o comprimento $x$ do cabo, que no triângulo faz papel de hipotenusa. Foi fornecida a distância entre o pé do cabo e a torre, que é o cateto adjacente do ângulo de $32^{\circ}$.

Portanto, iremos utilizar o cosseno para montar e resolver a equação:

\begin{align}
\cos 32^{\circ} &= \dfrac{51}{x} \\
0,85 &= \dfrac{51}{x} \\
0,85 x &= 51 \\
x &= \dfrac{51}{0,85} = \dfrac{5100}{85} \\
x &= 60 m
\end{align}

O comprimento do cabo é de $60m$.

Em determinada hora do dia, uma árvore de $15m$ plantada em uma região plana faz uma sombra de $25m$. Neste instante, qual é o ângulo de incidência dos raios do Sol? (Utilize calculadora)

A altura da árvore e sua sombra formam um triângulo retângulo. Desta maneira, é possível calcular a tangente de $\alpha$, pois conhecemos as medidas dos catetos.

$$\text{tg } \alpha = \dfrac{15}{25}^{\div 5}_{\div 5} = \dfrac{3}{5} = 0,6$$

Portanto procuramos um ângulo agudo cuja tangente vale $0,6$. Para isso há funções trigonométricas inversas na calculadora. Neste caso, utilize a função $\text{tg}^{-1}$ para $0,6$.

$$\text{tg } \alpha = 0,6 \\
\alpha = \text{tg}^{-1} 0,6 \\
\alpha = 30,963756 \approx 31^{\circ}$$

Então o ângulo de incidência do Sol, no instante mencionado, é de aproximadamente $31^{\circ}$.